群

群是一个对象集合，在这个集合中任意两个对象之间定义了一种运算。

群的基本定义

定义1： 群，集合GG和运算∘\circ一起称为群(G,∘)(G,\circ)，运算满足下列条件：

  1. ∀a,b∈G,a∘b∈G\forall a,b \in G , a \circ b \in G

  2. ∀a,b,c∈G,a∘(b∘c)=(a∘b)∘c\forall a,b,c \in G, a \circ(b \circ c)=(a \circ b)\circ c

  3. ∃e∈G,st∀a∈G,a∘e=e∘a=a,e\exists e \in G, st \forall a \in G,a \circ e =e \circ a =a ,e被称为单位元

  4. ∀a∈G,∃a−1∈G,sta∘a−1=a−1∘a\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, st\quad a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a

我们通常省略运算符，用GG表示一个群

定义2：有限群和无限群，如果集合GG中的元素个数是有限的，那么群G就称为有限群，否则称为无限群

**定义3：**阿贝尔群，如果对所有的 a,b∈Ga,b \in G,均有 a∘b=b∘aa\circ b = b\circ a，则称群GG为阿贝尔群

例1 群

  1. 整数集ZZ在加法+下构成群，即(Z,+)(Z,+)是一个群，其中 e=0,a−1=−ae=0,a^{-1}=-a，这是一个加法群，同时还是无限群，阿贝尔群。同理，有理数集QQ，实数集RR和复数集CC都是无限加法群，单位元逆元定义同上。

  2. Q,R,C中的非零元素在乘法下构成群，其中e=1,a−1e=1,a^{-1}就是乘法逆元。

  3. 对任意 n≥1n \geq 1，整数模n集合构成一个包含n个元素的有限加法群，这里的加法指的是模n的假发，单位元是0，对于群中任一元素a，a−1=n−aa^{-1}=n-a，我们将这个群记为ZnZ_n

  4. ZnZ_n中包含所有与n互素的元素的子集构成一个有限乘法群，这里的乘法指模n乘法，e=1.我们用Zn∗Z_n^*表示这个群，例如(Z15∗,(mod15))=({1,2,4,7,8,11,13,14},(mod15))(Z_{15}^*,(mod15))=(\lbrace1,2,4,7,8,11,13,14 \rbrace,(mod15))

定义4： G是运算∘\circ下的一个群，对任一元素a∈Ga\in G和任一非负整数i∈Ni \in N,我们将下面的元素

a∘a∘...∘aa \circ a \circ ...\circ a

记为 ai∈Ga^i \in G

定义5： 子群 如果群GG的非空子集HH在与GG同样的运算下自身构成一个群，我们就把HH称为群GG的一个子群，用 H⊆GH\subseteq G来表示H是G的一个子群，而H⊂GH\subset G则表示H是G的一个真子群。

例2

  1. 在加法运算下，Z⊆Q⊆R⊆CZ \sube Q \sube R\sube C

  2. 在加法运算下，所有偶数与0构成的集合是（1）中所有群的一个子群

  3. 集合ee是任意群的一个子群。

定义6： 群的阶，有限群GG中元素的个数称为GG的阶。例如，Zn=nZ_n=n

拉格朗日定理

定义7： 陪集 ，令 GG 是一个阿贝尔群，并且 H⊆GH \sube G，对于 a∈Ga \in G， 集合a∘H={a∘h∣h∈H}a \circ H = \lbrace a \circ h|h \in H \rbrace称为H的一个陪集

**定理1：**若H是G的一个子群，则 #H∣#G\#H | \#G

定义8： 商群，GG是一个阿贝尔群，且H∈GH\in G，则所有陪集 a∘Ha \circ H构成的集合，称为 GG模HH的商群，其中 aa 取自于 GG，记为 G/HG/H，群定义 (a∘H)∗(b∘H)=(a∘b)∘H(a \circ H) * (b \circ H)= (a\circ b)\circ H，单位元是 e∘He \circ H

例3：

  1. 对Z12Z12的每一个子群HH，均有 #H∣#Z12\# H | \#Z_{12}
  2. n>0是一个整数，在整数加法运算下，集合nZ={0,±n,±2n...}nZ= \lbrace 0, \pm n, \pm 2n... \rbrace显然是Z的一个子群。那么商群

Z/nZ={x+nZ∣x∈Z}Z/nZ = \lbrace x+nZ|x\in Z\rbrace

**定义9：**群元素的阶，G为一群，且 a∈Ga\in G，满足 ai=ea^i = e的最下正整数 i∈Ni \in N称为元素a的阶，记为 ord(a)ord(a)，如果这样的整数ii不存在，则a为无限阶元

例4：

  1. Z12Z_{12}中，ord(1)=12,ord(2)=6,ord(3)=4,ord(4)=3,ord(5)=12

定义10： 循环群，群生成元，如果存在一个元素 a∈Ga\in G ，对任一 b∈Gb\in G， 都存在一个整数 i≥0i \ge 0, 使得 b=aib=a^i，则群G称为循环群，元素 a称为 G的一个生成元，G是由a生成的群，记作 G=<a>G=<a>

例5：

  1. 对于 n≥1n \ge 1，加法群 ZnZ_n是循环群，1是生成元。

定理2：

  1. 循环群的每一个子群均为循环群。
  2. 对于 ord<a>ord<a>的每一个正因子d，<a><a> 恰包含一个d阶子群。
  3. 如果 ord<a>=mord <a> =m，那么 ord<ak>=m/gcd(k,m)ord<a^k>= m/gcd(k,m)
  4. 对 ord<a>ord<a>的每一个正因子d,<a><a>包含 ϕ(d)\phi(d)个d阶元。
  5. 令 ord<a>=mord<a>=m，那么<a><a>包含 ϕ(m)\phi(m) 个生成元，这些生成元形如 ara^r, 其中 gcd(r,m)=1gcd(r,m)=1